Matemática

Sistema Linear 2 × 2

Resolva um sistema de duas equações e duas incógnitas.

O que faz e quando usar

Duas equações com as mesmas duas incógnitas impõem condições simultâneas. Uma solução precisa satisfazer ambas, e não apenas uma. No plano, cada equação linear representa uma reta; as retas podem cruzar em um ponto, coincidir ou nunca se encontrar.

Fórmula utilizada

Escreva a₁x+b₁y=c₁ e a₂x+b₂y=c₂. O determinante D=a₁b₂−a₂b₁ indica se os coeficientes permitem uma solução única. Quando D≠0, razões de determinantes ou eliminação encontram x e y. D=0 exige verificar se as condições são equivalentes ou incompatíveis; não basta dividir por zero.

Aplicação prática e conferência

Ao eliminar uma incógnita, multiplique a equação inteira, incluindo seu lado direito. Um erro comum é ajustar apenas o termo que se quer cancelar. Ao final, substitua o par nas duas linhas: um par que funciona em uma e falha na outra não resolve o sistema.

Exemplo resolvido

Dados: x+y=5 e x−y=1. Somando as duas equações, 2x=6 e x=3. Na primeira, 3+y=5 e y=2. Conferência: 3+2=5 e 3−2=1. Geometricamente, o par (3,2) é o ponto de encontro das duas retas.

Leitura do resultado e erros comuns

O par (3,2) do exemplo satisfaz duas condições ao mesmo tempo. Satisfazer apenas x+y=5 não bastaria: (4,1) também soma cinco, mas falha em x−y=1. A segunda equação restringe as possibilidades da primeira. Retas coincidentes representam a mesma condição e deixam infinitos pares; paralelas distintas impõem condições incompatíveis e não têm par comum. Essas classificações têm significado matemático e não são falhas de processamento. Dados quase dependentes podem tornar a solução muito sensível a arredondamento dos coeficientes.

Unidades e limitações

A divisão exige D diferente de zero. Sistemas sem solução única recebem uma classificação; coeficientes muito próximos podem amplificar arredondamentos.

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