Matemática

Progressões PA e PG

Encontre o termo geral e a soma finita de progressões aritméticas e geométricas.

Modo de cálculo

Calcule o termo geral e a soma finita de uma PA.

O que faz e quando usar

Uma progressão descreve uma sequência por uma regra constante entre termos. Na aritmética, PA, somamos a mesma diferença; na geométrica, PG, multiplicamos pela mesma razão. Crescimento por acréscimo fixo e crescimento por fator fixo produzem comportamentos diferentes ao longo de muitos passos.

Fórmula utilizada

Na PA, aₙ=a₁+(n−1)r, pois para chegar ao primeiro termo não há mudança e para chegar ao n-ésimo são n−1 acréscimos. Na PG, aₙ=a₁q^(n−1), com n−1 multiplicações. a₁ é o primeiro termo; n é a posição; r é diferença na PA e q é razão multiplicativa na PG.

Aplicação prática e conferência

Entre o primeiro e o quarto termo há três transições: 1→2, 2→3 e 3→4. É por isso que as fórmulas usam n−1, e não n. Na PA são três adições da diferença; na PG, três multiplicações da razão. O primeiro termo é a referência anterior a essas mudanças. Valor do quarto termo e soma dos quatro primeiros são perguntas diferentes. Na PA 3,5,7,9, o quarto vale 9, mas o total é 24. Não use o último valor para representar um acumulado sem fazer a soma.

Exemplo resolvido

PA com a₁=3 e r=2: termos 3,5,7,9; a₄=3+(4−1)×2=9. PG com a₁=3 e q=2: 3,6,12,24; a₄=3×2³=24. Ambos usam o número dois, mas um o soma e o outro o multiplica, gerando sequências distintas.

Leitura do resultado e erros comuns

O resultado assume que a regra vale em todos os passos considerados. Dados observados com variação não se tornam uma PA ou PG apenas porque dois termos sugerem uma razão. Potências grandes também podem atingir limites numéricos; isso exige respeitar o escopo do cálculo, sem interpretar infinito como termo válido.

Unidades e limitações

Posição e quantidade de termos devem ser inteiros positivos. Razões negativas ou nulas permanecem aceitas conforme as fórmulas. Não calcula soma infinita; números muito grandes podem ultrapassar a precisão ou o limite finito do navegador.

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