Cálculo

Derivada

Calcule derivadas simbólicas no escopo suportado.

O que faz e quando usar

Derivada é uma taxa de variação local. Ela compara uma pequena mudança na saída com uma pequena mudança na entrada, no limite em que o intervalo encolhe. Em um gráfico, representa a inclinação da tangente; em movimento, a derivada da posição em relação ao tempo representa velocidade.

Fórmula utilizada

A definição é f′(x)=lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h, quando esse limite existe. Regras simbólicas permitem obter a expressão sem calcular repetidamente esse limite: por exemplo, a derivada de xⁿ é nxⁿ⁻¹ nas condições do domínio. Derivar outra vez produz segunda derivada, que descreve como a primeira taxa varia.

Aplicação prática e conferência

f(x) significa a saída da função na entrada x; f(x+h) é a saída depois de deslocar a entrada por h. A diferença das saídas dividida por h é uma taxa média nesse pequeno intervalo. A derivada procura o valor-limite dessa taxa quando h se aproxima de zero, sem efetivamente dividir por zero. A expressão derivada vale para entradas no domínio correspondente; avaliar em um ponto fornece um número. Se a saída original é posição em m e a entrada é tempo em s, a taxa usa m/s. Uma segunda derivada acompanha como essa taxa muda e, nesse contexto, usa m/s².

Exemplo resolvido

Para f(x)=x², f′(x)=2x. Em x=3, f′(3)=6. Isso significa que, perto de 3, uma mudança pequena Δx produz aproximadamente 6Δx de variação na saída. Para Δx=0,01, a previsão linear é 0,06; a diferença exata 3,01²−3²=0,0601 fica próxima, sem ser idêntica.

Leitura do resultado e erros comuns

Valor de derivada zero identifica uma tangente horizontal quando a derivada existe, mas não prova sozinho máximo ou mínimo. Pontos angulosos e descontinuidades podem não ter derivada. A interpretação deve respeitar domínio, ordem de derivação e ponto de avaliação; a expressão calculada não descreve automaticamente um fenômeno físico.

Unidades e limitações

Ordens de 1 a 5. Use as funções aceitas no campo; uma expressão derivável formalmente pode não estar definida em todo ponto real.

Ferramentas relacionadas

Voltar para Calculadoras

Calculadoras