Matemática

Análise Combinatória

Calcule fatoriais, combinações, arranjos e permutações simples ou com repetição.

Modo de cálculo

Calcule o fatorial de um inteiro entre 0 e 170.

O que faz e quando usar

Contar possibilidades exige decidir se a ordem importa e se elementos podem se repetir. Escolher duas pessoas para uma equipe é diferente de escolher presidente e vice: trocar posições mantém a equipe, mas muda a atribuição de cargos. A fórmula deve representar essa distinção antes de receber os números.

Fórmula utilizada

Fatorial n! multiplica inteiros de n até 1 e adota 0!=1. Arranjos de k entre n são n!/(n−k)! quando a ordem importa. Combinações dividem ainda por k!: n!/[k!(n−k)!], retirando as ordens internas que representam a mesma escolha. Permutação ordena todos os elementos; com repetições indistinguíveis, divide pelos fatoriais dessas repetições.

Aplicação prática e conferência

Uma combinação não admite atribuir cargos depois e manter a mesma contagem sem novo fator. Na permutação com repetição, dois objetos iguais não criam novas sequências ao trocar entre si. Os valores n e k contam elementos e precisam ser inteiros coerentes, com k não superior a n.

Exemplo resolvido

Com 5 pessoas para dois cargos distintos, há 5 escolhas para o primeiro e 4 para o segundo: 5×4=20 arranjos. Para uma dupla sem cargos, cada par foi contado duas vezes, uma por ordem; 20/2!=10 combinações. Para ordenar todas as cinco, 5!=120. Se duas forem indistinguíveis no problema de ordenação, 120/2!=60 sequências distintas.

Leitura do resultado e erros comuns

Nas dez duplas do exemplo, Ana–Bia e Bia–Ana representam a mesma escolha sem cargos. Nos vinte arranjos, representam atribuições diferentes: quem ocupa cada cargo importa. Indistinguível significa que trocar dois elementos não produz um resultado diferente para a pergunta considerada. Contar possibilidades não fornece automaticamente uma probabilidade. Ainda é necessário definir quais resultados podem ocorrer e se têm as mesmas chances. As fórmulas valem sob as regras de ordem e repetição declaradas; uma contagem grande não garante precisão inteira exata em qualquer tamanho de entrada.

Unidades e limitações

n deve ser inteiro de 0 a 170; k deve ser inteiro de 0 a n. Repetições devem ser inteiras de pelo menos 2 e sua soma não pode superar n. Mantém 0! = 1. Grandes resultados usam ponto flutuante e podem não ter precisão inteira exata.

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